昔、何かの本で「どちらかは同じ単位を比べたもの、どちらかは違う単位を比べたもの」という記述を読んだ記憶があり、どっちがどっちだということまでは覚えていない。
どの本にあったのかひっくりかえしてみもつかりそうにない。
そもそも円周率は直径と円周の長さと長さの割合だし、三角比も辺の長さと長さの割合だ。同じではないのか？
どなたか詳しい人、教えてください。
大昔、「速さ」という概念がなかったとき、距離と時間が比例するというのは体感していただろうから、「あの村までは3日の距離だね」いった表現があっただろう。
そして「俺だったら2日でいけるね」という形で速さは意識されるのだろう。
では「速さ」という量はいつ生まれるかというと
ならば
この定理が認められたときが、その時ではなかろうか。
すなわち、同じ速さということは
から
を導いたとき、単位が違う比を考えてもよいんだ。
100里の100も3日の3も同じ数であり、計算しても良いのだというこということに気付いたときが「速さ」の誕生日ではなかろうか。
いや、もっと前の抽象的な「数」の誕生なのかなぁ。
先日、初めて数研の監督をした。
夏休み前のことだ。
8月の終わりに答案が返ってきた。
そして、驚いた。
答案も模範解答も返されないんだ。
調べてみると検査結果の通知は「合格証」と「個別成績票」になっている。
しかし、テストを売っておいて、模範解答も示さないとは?
みるとweb上で模範解答はみられるとある。
しかし、探してみてもリンクが見当たらない。
よくよく読み解くと、
今回の検定実施日は7月8日だったから、その約2週間後は7月22日。
それから約30日間で8月22日。
今日は9月2日だから、もう公開終了しているということだ。
すると本日、検定結果を受け取って、不合格だった生徒が、
間違えた問題をやりなおそうと思っても、模範解答は入手不可能ということだ。
2500円～3500円も払っているのに、これはあまりにも不親切だろう。
学校でまとめて購入する学力テストは、模範解答に簡単な解説および個票がついてくるのは常識だ。
だからおいらもそういう常識しか持っていなかった。
そこでカスタマーサービスに電話した。
「模範解答を受検人数分送ってください」
「貴団体だけ特別扱いすることはできません」
「それでは全団体に送ってください」
「前向きに検討しますが、1，2年のうちにできるかどうかは約束できません」
やる気ないのがあからさますぎる。
新しいコンテンツを作れと言っているわけではない。
模範解答は団体に1枚だけは送られてきているのだ。
とういうことはあとは、
…これだけの簡単な計算だ。
ここで思い出したのはIMEの悲しい歴史だ。
昔、このブログに書いた*1ように、おいらはあの会社のFEPのファンだった。
それが、WINDOWSにバンドルすることになり、どうやっても一人勝ちになる状況になった後、IMEはどうしちゃったのというFEPになった。
おいらは今はATOKを使っている。
数研も分裂騒動とかいろいろあったらしいが、今は立派な公益財団法人に認定されてオエラクなってしまったのであることかなぁ。
（今回は特別に送ってもらいましたけど）
上は某出版社の中学3年生の数学の教科書を写したもの。
なにが嫌いなのかって「もっと練習！」の2問だ。
と
ここは発展的な学習として扱えばよいということなのだろうが、教科書に載っているということは準拠する問題集にもテストにも出題されるということだ。
そして教員が作る教材にも登場するということになる。
もともとは高校の受験問題が発祥の地なのかもしれないが、教科書に載るというのはまた別の問題だと思っている。
「公式をちゃんと理解しているならできるので、別に問題ないのでは」と思われるだろうか。
私は、有理係数の問題を出すのはルール違反だと思うのだ。
問題文には「因数分解しなさい。」ということしか書いていない。
これは「整数の範囲で」というのが暗黙の了解で省略されている。
整数の範囲で、共通因数はすべてくくりだす。低次の多項式の積にできる場合は必ず分解する。
こういうルールを出題者と解答者が共有するから、正解が順序を無視して一意に決まるのではなかろうか。
そこで出題側がルールを勝手に破棄して有理数を持ち出して来たら、もうルール無用な世界になる。
という答を×にできない。
問題なくだって○だろう。
としなければいけない。平方根だって学んでいるのだから。
複素数を予習した生徒はとしてくるかもしれない。
だからお互いにルールは守りましょうよ、と言いたい。
[オマケ]
ちなみに教科書には正解は となっている。
これも(2)はともかく
の方が自然だと思うのだけどなぁ。
(2)もさらにちょっとひねって
だったら、通分して考えるよなぁ。
前回の記事「√2の連分数展開」の続き。
連分数の形で表したを途中まで計算すると、近似値が求まる。
この数列を眺めていると、規則性が見えてくる。
2つの分母を足すと大きい方の分子が出てくることに気づくだろう。
1を引いての小数部分だけに着目すると、もっとわかりやすい。
分母を足すということは1を足していることだったわけだ。
小数部分だけを見れば前の数の分母が次の数の分子になっていることに気づくだろう。
この形だったら分母の規則もじっくり見れば見えてくる。
が、面倒だから計算してしまおう。（どっちにしろ計算はしなくては）
ある近似値の小数部分がだったときに、次の近似値を計算してみよう。
つまりの次は
だということだ。
これならexcelでも簡単に計算できる。
もっともexcelは数値計算用のソフトではないから12回目までしか計算はできない。
そこで求められる近似値は1.414213562
暗記している(?)ヒトヨヒトヨニヒトミゴロに2を加えただけの悲しい結果。
分数としてなら29回目まで有効だ。
得られる近似値は
もっと深くまで計算したい場合は ubasic などを使うのが簡単*1。
小数50桁まで求めるは66回すればOKだ…という話、昔ここにも書いたような気がしてきた。
*1:最近のソフトについて知らないので、良いのあったら教えてください
どうも「式」という言葉の遣い方が小学校と中学校で異なるようだ。
「1000円を持って1個円の饅頭を3個と100円のアイスクリームを買ったとき、残りはいくら持っているか。
の式で表しなさい。」
このような問題だと、問題文に「式で表せ」とあるのに反応して
という誤答がよくある。
もちろん期待している正解は円 だ。
なのでおいらは「の式で表しなさい。」とはわざと書かないか、場合によっては注釈をつけて「文字式の約束に従って表すこと」なんて追加する。
小学校では答を求める途中の過程をすべて「式」といっているのだろうか。
おいらが「式」という言葉を遣う場合の意味は「表」でも「グラフ」でもなく「式」ということだろうか。
対応が列挙された地図でもなく、絵でもなく、文章で表せということだ。
ただし省略された文章ね。
まぁ、面倒なのは中学1年のはじめだけだからどうでもいいか。
なんだかもう随分長いことtwitter で論争されているようだ。縫田さんのリツィートを読むだけだから検討違いの理解かもしれないが、「小学校では が正解の問題で
と解答するとバツになる。怪しからん」という事のようだ。
‥‥場合によるんじゃないでしょうか？
ただ足し算は非常に制約が厳しい*1かわりに可換律が保証されている印象だが、掛け算は何と何を掛けても自由なかわりに非可換な場合もあることを忘れてはいけないと思います。
中学校で掛け算を取り上げるのは、負の数の導入の時。この時、次の3つの分類は取り上げます。
そこで、負の数の掛け算を考えるモデルとしては「1あたり量×いくつ分＝全体量」を選ぼうという流れになる。
今回はこの分類で順序の問題を考えてみる。
この最後の長方形の面積求める場合など、縦×横でも横×縦でもなんの問題もないね。
3人が2列に並んでいる時に、全体の人数を求める場合も同じようなものだ。
真ん中の例、「3万円の給料が2倍になった」はどうだろう。
が自然だと思うが、
もアリという感じがする。
数学だと「の2倍」も「2の
倍」も計算すればどちらも
になるので、そう感じるのかなぁ。
で、やっぱり議論が分かれるのが一番最初の「1あたり量×いくつ分＝全体量」の場合でしょう。
具体的には速さ×時間でも時間×速さでもどちらでもいいのかという問題。
う～～ん。意見が分かれると思いますが、おいらはどちらでもいいに1票です。少なくともテストの答案をバツにするほどではない。
結局、たいした意見は書けませんでした。申し訳なし。
*1:完全に同じ単位同士でないと足せない
