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このような「学校の教員がアホ」というという批判(というか言いがかりに近いが……)は常にあるもので、反応するに値する物ではない。
もっとも実際私が教壇に立っていたこともあるくらいなのだから「数学を理解していない」教員がいることは間違いないだろう。
実際、先日若い教員が作った定期考査の模範解答を私が採点したら満点にはできなかった。
まぁ、考え方の違いというものだ。

「学校で分からなくなって塾で理解する」とこの方は発言していらっしゃるが、私の家の周辺で増えている「個人指導塾」の先生は大学生らしいが数学専攻というわけでもなく、単にテストの問題を正解するための繰り返し練習しているだけに思える。数学を理解し数学を教えようと努力していると好意的に理解できる状況では全くない。
もっとも学校の若い教員もそのような傾向が年々顕著になってきているように感じるのは……おそらく私が歳をとったせいだろう。

まぁ、私が言いたいのは「他の人間が自分の期待する考え方や動きをしなかったときに、その人間を変えようとか排除しようと考えることはいかがなものかな」ということだけ。

作図は中3の最後にもってきちゃったら?

根が素直で真面目なので、文科省の定めた学習指導要領に沿って作られた教科書にあわせて授業を考える。

1年生の直感数学というのはどうも気持ち悪くて駄目だが、我慢してとにかく教科書に逆らわずに授業をしてきた。

作図は、「なぜこの手順で目的が達成できるのか」という議論を2年生に持ち越して、方法だけを1年生で学ぶ、

普通に考えて意味がわからないが、偉い文科省の歴々が定めたことだから恐らく深い意味があってのことだろう。

そこで色々考えた結果、この単元は試行錯誤を体験させるのが目的だと理解している。

小学校で「テスト」というものを経験し、テストで高得点を取るには問題の解き方をたくさん記憶してその解法を与えられた問題に適応させるのが効率的だ。
どうやって解説するかを考えるより、似た問題を探して解答を読む方が早いのだ。
そして数学を学ぶとは解き方を覚えることだと思い込んでいく。

そこでここら辺で、「基本の作図だけ教えるから、あとはなんとか色々考えて自由にやってみ」と突き放す機会を作ろうという意図ではなかろうか。
「先生、この問題の解き方、まだ習っていません」なんて本気で言ってしまう生徒が何をしていいのか途方に暮れてしまうような問題に向き合わせる。
そして少しずつ、解らないなりに色々試してみはじめる--手を動かし始めるのをじっと待つ。

もう一つの理由は、これから2年生・3年生で初等幾何を学ぶ。
そこでは当然、図を描く。
そのために1年生で作図を学んでおくのだと理解していた。

しかし、昨今の状況を考えると、2つの理由がだんだん言い訳っぽく思えてきた。

試行錯誤を経験させる、あわよくば数学の問題なんて何も勉強していなくても普通の人生経験があれば色々考えればなんとかなることを気付かせたい。
しかし、そのためには時間が必要だ。
これがなかなか確保できない。(ここには人員配置の問題が大きいのだが……)

また最近は、2年生・3年生の図形の授業でも生徒に図を描かせない授業をすることが多い。
(そういう教員が多いと言うこと)
図形の授業なのにコンパス・定規を持ってこない生徒までいる。
授業プリントにすでに印刷されていたり、PCやタブレットで提示してしまうからだ。

1年生で作図を学んでおく意味は薄れた。

それだったら、1年生ではcinderella.2とか作図ソフトを導入して、簡単に綺麗な図を描く方法を学んだ方が良いのではないか。
そして3年の最後に中学数学の総まとめとして古典的作図に挑戦させる。
本来作図問題は、円周角も相似も三平方も2次方程式も総動員する必要があるものなのだ。

そして角の三等分問題も取り上げて、「不可能の証明」を数学ではできる。
それは高校数学で学んで欲しい。
こうまとめて卒業させる。

どうですかね。

平行四辺形の性質の証明

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中学2年生の教科書には平行四辺形の性質が次のように記述されている。

平行四辺形の性質
  1. 2組の対辺がそれぞれ等しい。
  2. 2組の対角がそれぞれ等しい。
  3. 対角線がそれぞれの中点で交わる。

つまりは平行四辺形は点対称だということだ。

点対称とは180度回転しても合同な図形だと言うことだから、上の性質では3番が本質だといえる。
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すなわちOA=OC, OB=ODを示すことで、対角線の交点Oが回転の中心であり、AがCに、BがDに180度の回転移動で移ることが示される。

ところが3番をいきなり証明しよう、すなわち\triangle OAB\equiv\triangle OCDを示そうとしてもうまくいかない。
平行四辺形という仮定(2組の対辺がそれぞれ平行)だけでは、どこも辺が等しいことがいえないからだ。

そこで1番を先に証明することが必要になる。

まとめると平行四辺形の性質は

  • 3が本質。
  • 1は3を証明するための補題
  • 2は1の証明から獲れるオマケ。

このように理解していた。

しかし、よく考えてみると、1番の証明をすればもう充分という気がしてきた。

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1番の証明をするためには角辺角の合同条件を用いて\triangle ABC\equiv\triangle CDAを示す。

これで直感的には平行四辺形が点対称だと主張しても良さそうだ。
点対称であることを証明するには平行四辺形ABCDと平行四辺形CDABが合同であることを示せば良い。
それは分解して\triangle ABC\equiv\triangle CDA\triangle ACD\equiv\triangle CABを示すことになるが、この2つは同じことだからだ。

合同な図形の対応する長さや角の大きさは等しいので、ACの中点をOとすると、中線の長さが等しいこともいえるから、OB=OD。さらに \angle AOB=\angle CODもいえるので、\angle BOD=180°もいえる。

過去の実践は批判されるものなれど

19452051.at.webry.info
この記事の中の次の部分に関して

その後の国分一太郎無着成恭批判が出てきたときは、不愉快でした。
精いっぱいやっていた人の実践を、後の者が批判するのは簡単ですが、私は好きません。
特に、亡くなった人の実践を批判するのは、私の性格から許せないのです。
(まあ、人付き合いが下手な証拠ですけどね)

twitterで次のような反応がありました。

批判すべき点があるのに批判しないのは、その方が失礼。
この東海地区数教協の人は、批判=やってはいけないこと と思っていそう

「批判すべき点があるのに批判しないのは、その方が失礼。」
という命題はその通りだと思いますが、
「批判=やってはいけないこと と思っていそう」という判断はどうかなと思います。

おそらく「不愉快」といった感情的な用語に目が行ったのだと思いますが、
「後の者が批判するのは簡単」という言葉から違う受け取り方をしました。
不愉快に思ったのは批判すること自体ではなくて、その批判の質なのではないでしょうか。

例えば……

  • エウクレイデスの「原論」を、現代数学を学んだ人が「論理が雑」と批判する。
  • 藤堂明保の「漢和大字典」を、現代の人が批判する。(まだ中国の発掘が情報が少なかった時代の仕事ということを無視して)
  • 昔の恐竜の絵を、「なんだこれ、毛も生えてないぞ」と現代の人が批判する。
  • 瀉血を、現代の人が「無知で野蛮」と批判する。

そういえば、何年か前に戦争中に突然現代の民主主義の教育を受けた子どもがタイムリープしたんじゃないかというような違和感をもつ小説が流行りましたっけ。
例が適切かどうか自信がありませんが、私が言いたいことは通じるだろうと信じましょう。

人はどうしたって時代の制約の中で生きているのに、それを無視した批判は滑稽です。

…と、受け取ったのですが、私は国分一太郎無着成恭も名前しか知りません。(ラジオは聞いたかも)
ここら辺に絡みそうな本で読んだことがあるのは寒川道夫の「山芋」だけです。
どんな批判がされたのかも想像もつかないので見当違いの事を書いているだけの可能性も高いです。

数学教育でいえば、遠山啓はピアジェの「発達心理学」の時代の人です。
その後に発達してきた、認知心理学行動経済学などの知見を知り得ません。
もし遠山啓が現代に生きていたら、いったいどんな算数・数学教育にどんな提案をしたのか?
(私には全然わからない)

ついでに思い出した本。

まだあるのかな?

教員の力量向上に資するものは

ちょっと切り取りすぎているので解説しておきますと、積分定数さんは「数教協で学んだ教員の方がTOSSで学んだ教員よりひどい教育をしている。結果から判断して数教協の方がTOSSより悪い。民主的に議論してダメな教員作るより、独裁者がフツーの教員を作るほうがずっとマシだ」という主張をされています。

「数教協で学んだ教員の方がTOSSで学んだ教員よりひどい教育をしている。」
という部分に関しては賛意も異議もありません。
そりゃそういうこともあるだろうし、逆の場合もあるだろうしと感想を持つだけです。
私自身はどちらの団体にも所属していませんし、それが事実かどうか検証しようという熱意も興味もありません。

異議を申しあげたいのは、その後の部分です。

数教協もTOSSも民間教育団体ですが、その大きな目的はそこに参加してくる一人一人の教員がそれぞれの力量を向上させることでしょう。
だとしたら、その中身が相互で議論してよい実践に学んだり自分の実践を発表して批判され考えを深め成長していくというスタイルなのか、教祖がABC評価をしてA評価の実践を皆が真似をするというスタイルなのかは本質的な問題です。

TOSSはまさに「とりあえずましな授業ができるよ」と売り出したのだと思います。
ワイワイ騒ぐだけでちっともいうことをきかない子ども達を前に困惑している教員。
そういう教員たちをターゲットに、「うちに金を払ってうちのいうとおりにやれば、とりあえず授業しているような見かけは作れますよ」とすりよってTOSSは金儲けしてきました。
「こうすれば学校予算でTOSSの教具を購入できまっせ」と手取り足取り。

でも、それで本当にその教員は成長したのでしょうか。

一人一人異なる子どもに対応できる教員になれるのでしょうか。
時代によって変わってくる教育理論や子ども観に対応していけるのでしょうか。

生まれるのは教えている子ども全員に「必ず分数の線と=は定木で書きなさい」と強制する教員というのが現実なのではないですか?

たとえ即効性はなくても自分の頭で考え、目の前の子どもと格闘し、失敗したり成功したりしながら成長するというのが教員が力量をつけていく道筋だと考えます。

なお蛇足ながら積分定数さん以外の読者のために断っておきますが、私は個人的にムケ山さんは大嫌いですが、数教協にしろTOSSにしろ、そこに貴重な休みに自腹で金を出して学びに行く教員は向上心を持った尊敬できる方々だと思っています。たとえ教え方は下手くそでも、その事実だけでも充分に子ども達を陶冶するものと思います。

中学校で何を教わってきたと言われているに決まっている

んですよね。まず確実に。

一応ちゃんと教えたつもりなんですが現実にできていないんだから、何を言ってもそれは言い訳にしかなりません。

「中学校でちゃんと教えて卒業させてもらわないと」

私の力が足りないばかりにご迷惑をかけて申し訳ないです。

「いや、私が教えるのに手間がかかって迷惑だと責めているんじゃありません。子どもたちが可哀想だといっているんです」

そこまで踏み込みますか。個人的な恨みではなくて、公憤だというわけですね。鬼に金棒ってパターンですね。いやもう最初からあたしは白旗掲げているんですが……。

誤解の無いように書いておきますが、上はただの私の妄想です。

そんなことを言われたことはありません。

ですからたとえ九九があやしい中学生がいたとしても、小学校の先生になにかを言うつもりはまったくありません。
(ごめんなさい。たとえじゃなくて、九九が怪しい子どもは普通にいます。分数の足し算ができない子どもは必ずいます。)


中学校では、預かった・受け取った子どもを精一杯育てるよう努力するだけです。
小学校の先生にお願いしたいことは、最低限、大人不信を抱えては来ないようにしてほしいということぐらいです。
ですが、まぁそういうことだってあります。中には変な先生もいますからね。

中学校の3年間は子どもにとってはけっこう長い期間ですが、実際にはあっという間です。何かを伝えたいことはあっても、伝えるためにはチャンスが必要なこともあり、まず大抵は伝えられたことより伝えられなかったことの方が多い状態で卒業を迎えます。

後は、次にその子どもに関わる大人に託していくしかありません。

それしかできないからです。

卒業させた後は、こっそり見ているだけです。

よくぞあの子を卒業までもっていってくれたと感謝感激させてくれる高校もあれば、たしかに勉強はできないがまじめにがんばっているあの子を1年で退学させるってどういうことなんだ?それだったら最初から合格させるなよと憤慨させてくれる高校もあります。

でも同じ事もう一度書きますが、次にその子どもに関わる大人に託していくしかないのです。

なぜ小学校で「整数」を教えるのか?

中学1年生で負の数を導入しますが、次のように教えます。

\left\{\begin{align}&正の数\\&0\\&負の数\end{align}\right.

ここでの数は概ね有理数を想定しているはずです。
\piだけは1年生で登場しますが。

中学3年生で平方根を学ぶ際に無理数が登場します。

\left\{\begin{align}有理数\\無理数\end{align}\right.

2次方程式の解の公式を学ぶと、虚数も顔を出してしまったりするのですが)

ここでの数は実数を意味しています。

このように「数」というあいまいな用語を利用して、じわじわと数の世界を広げていくのが教科書の方法です。

私は中学3年生で少なくとも実数という用語は教えたいと思っています。
それは無理数\sqrt{ }のついた数だと誤解させたくないからですが、その話題はまた別の機会に。

私が言いたいのは、この方針でいくのなら小学校でも同じ方針を貫いてほしいということです。

つまり、小学校で「整数」という言葉を教える必要はないだろうということ。

\left\{\begin{align}&自然数\\&0\end{align}\right.

この教え方で何の不都合があるのでしょう。

もしくは

\left\{\begin{align}&自然数\\&分数\\&小数\\&0\end{align}\right.


現在は非負整数を小学校で「整数」と教えてしまい(嘘を教えているわけですね)、自然数は中学校で学びます。
なので、中学校の最初で「今まで整数といっていたものは実は負の整数もあって、いままで整数といっていたもののうち0以外のものを自然数ということにする」といったややこしい指導が必要になります。
子どもを無用に混乱させるだけではないでしょうか。

私の案は自然なものだと考えていますが、読者の意見はどうでしょう。

中学校では「今まで0と自然数については知っていたね。これからは自然数に符号をつけて拡張した数をまとめて整数という」……すっきりしませんか。

小学校にとっても悪くないのでは無いかと思っている。

きくところによると、小学校では0は偶数だが2の倍数とは扱わないとか。
教員も混乱するし、子どもはなおさらわけがわからなくなるだろう。
数学を暗記科目に分類するに違いない。

倍数・約数は自然数についての言葉ですとすればすっきりするのではないか。

割り算も「自然数について定義された計算です」で良いのではないだろうか。

ご意見を乞う。