嫌いな因数分解の問題

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上は某出版社の中学3年生の数学の教科書を写したもの。

なにが嫌いなのかって「もっと練習!」の2問だ。

(1)~4x^2+xy+\dfrac{y^2}{16}(2)~x^2-\dfrac{y^2}{4}

ここは発展的な学習として扱えばよいということなのだろうが、教科書に載っているということは準拠する問題集にもテストにも出題されるということだ。
そして教員が作る教材にも登場するということになる。

もともとは高校の受験問題が発祥の地なのかもしれないが、教科書に載るというのはまた別の問題だと思っている。

「公式をちゃんと理解しているならできるので、別に問題ないのでは」と思われるだろうか。

私は、有理係数の問題を出すのはルール違反だと思うのだ。

問題文には「因数分解しなさい。」ということしか書いていない。
これは「整数の範囲で」というのが暗黙の了解で省略されている。

整数の範囲で、共通因数はすべてくくりだす。低次の多項式の積にできる場合は必ず分解する。
こういうルールを出題者と解答者が共有するから、正解が順序を無視して一意に決まるのではなかろうか。

そこで出題側がルールを勝手に破棄して有理数を持ち出して来たら、もうルール無用な世界になる。

4x^2-36=(2x+6)(2x-6) という答を×にできない。
x^2+2x+1=\dfrac14(2x+2)^2 問題なくだって○だろう。
x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) としなければいけない。平方根だって学んでいるのだから。
複素数を予習した生徒はx^2+1=(x+i)(x-i)としてくるかもしれない。

だからお互いにルールは守りましょうよ、と言いたい。

[オマケ]
ちなみに教科書には正解は(1) \left(2x+\dfrac{y}{4}\right)^2 ~ (2) \left(x+\dfrac{y}{2}\right)\left(x-\dfrac{y}{2}\right) となっている。

これも(2)はともかく

\begin{eqnarray*}
4x^2+xy+\dfrac{y^2}{16} &=& \dfrac{64x^2+16xy+y^2}{16} \\
&=& \dfrac{(8x)^2+2(8x)y+y^2}{16} \\
&=& \dfrac{(8x+y)^2}{16}
\end{eqnarray*}
の方が自然だと思うのだけどなぁ。

(2)もさらにちょっとひねって
3x^2-\dfrac{y^2}{3}
だったら、通分して考えるよなぁ。