√2の連分数展開 - 中学数学教材研究ノート++

$\sqrt{2}$ の定義は $x^2=2$ の解の正の方であるから
$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 2 \\ x^2-1 &=& 2-1 \\ (x+1)(x-1) &=& 1 \\ x-1 &=& \dfrac{1}{1+x} \\ x&=& 1+\dfrac{1}{1+x} \\ \end{eqnarray*}$
これで再帰的に $\sqrt{2}$ を定義できた。
右辺の $x$ に右辺を代入すると
$\begin{eqnarray*} x&=& 1+\dfrac{1}{1+x} \\ x&=& 1+\dfrac{1}{1+1+\dfrac{1}{1+x}} \\ x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}} \\ \end{eqnarray*}$
再び右辺の $x$ に $1+\dfrac{1}{1+x}$ を代入すると
$\begin{eqnarray*} x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}} \\ x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+1+\dfrac{1}{1+x}}} \\ x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}}} \\ \end{eqnarray*}$
これはいくらでも繰り返せるので $x=\sqrt{2}$ は次のように表すことができる。
$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2\cdots}}}}$

こんなことして何がうれしいかというと、無理数は非循環無限小数とはいえ、 $\sqrt{2}$ はとても綺麗な無理数だということを示せると思うのだ。

$\pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\dfrac{1}{1+\cdots}}}}}}$

この $\pi$ は連分数展開してもてんで出鱈目。
比べると $\sqrt{2}$ がいかに品行方正かがわかるだろう。

もう一つは、この連分数を途中まで計算すれば、それが $\sqrt{2}$ の近似値になるということ。

$1+\frac{1}{2}=\dfrac32$
$1+\frac{1}{2+\frac12}=\dfrac{7}{5}$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac12}}=\dfrac{17}{12}$
$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac12}}}=\dfrac{41}{29}$

つまり $\sqrt{2}$ の近似値は簡単に計算できることがわかるだろう。
でも今日はここまで(^^)