√2の連分数展開

\sqrt{2}の定義はx^2=2の解の正の方であるから
\begin{eqnarray*}
     x^2 &=& 2 \\
     x^2-1 &=& 2-1 \\
     (x+1)(x-1) &=& 1 \\
     x-1 &=& \dfrac{1}{1+x} \\
     x&=& 1+\dfrac{1}{1+x} \\
\end{eqnarray*}
これで再帰的に\sqrt{2}を定義できた。
右辺のxに右辺を代入すると
\begin{eqnarray*}
     x&=& 1+\dfrac{1}{1+x} \\
     x&=& 1+\dfrac{1}{1+1+\dfrac{1}{1+x}} \\
     x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}} \\
\end{eqnarray*}
再び右辺のx1+\dfrac{1}{1+x}を代入すると
\begin{eqnarray*}
     x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}} \\
     x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+1+\dfrac{1}{1+x}}} \\
     x&=& 1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+x}}} \\
\end{eqnarray*}
これはいくらでも繰り返せるのでx=\sqrt{2}は次のように表すことができる。
\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2\cdots}}}}

こんなことして何がうれしいかというと、無理数は非循環無限小数とはいえ、\sqrt{2}はとても綺麗な無理数だということを示せると思うのだ。

\pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\dfrac{1}{1+\cdots}}}}}}

この\piは連分数展開してもてんで出鱈目。
比べると\sqrt{2}がいかに品行方正かがわかるだろう。

もう一つは、この連分数を途中まで計算すれば、それが\sqrt{2}の近似値になるということ。

1+\frac{1}{2}=\dfrac32
1+\frac{1}{2+\frac12}=\dfrac{7}{5}
1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac12}}=\dfrac{17}{12}
1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac12}}}=\dfrac{70}{29}

つまり\sqrt{2}の近似値は簡単に計算できることがわかるだろう。
でも今日はここまで(^^)