正多面体の見取図の画き方

正六面体

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正八面体

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正十二面体

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正二十面体

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正四面体

これが、うまい説明が思いつきません。
気合で描くんだ…としか。
いい方法あったら、ご教授ください。

正多面体の定義(つづき)

4日も寝込んでいる。先週の木曜から不調だ。検査の結果、インフルエンザではないと出たのだが、こんなに長引くとは。
で、今日の午後からやっと頭が冴えてきたような気がした。そこで、この間のエントリーの宿題を片付けてみようかという気になった。
ところが、考え始めてみると、やっぱりこんがらがってきた。一応アップしてみるので、どなたか検算してみてください。結果に全然自信なし。

どんな宿題だったかというと…正多面体の定義に「凸な立体」という文が含まれている。(中学校の教科書には「へこみのない」と書かれている)
この文章は何のためにあるのかというと、思いつくのは正二十面体だ。正二十面体の一部がへこんだ図形が存在するので、これをオミットするための一文だと考えられる。
問題は他にあるかということだ。

正二十面体の2か所がへこんだ立体は存在するのだろうか?

正二十面体をテーブルの上において、真上から見ると正六角形に見える。
もし本当に正六角形ならば、対角線上の2点をへこませたらぴたりと頂点が中心で一致した立体が作れそうだ。
しかし、ちゃんと計算してみないとなぁ。

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この正二十面体に次のように補助線を引いてみる。
1辺を2としてみる。

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まずは横の長さを計算する。

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h=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2-1^2}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}
縦は1辺2の正三角形の高さだから\sqrt{3}
したがって平行四辺形は次のようになる。

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O,NからBMに下した垂線の足をそれぞれP,Qとする。
Pは正三角形BGKの外心になるから、それは重心と一致するゆえ、PはMBの三等分点。
またMO=ONなのでMP=PQ
つまりMP=PQ=QB=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

QN=\sqrt{5+2\sqrt{5}-\dfrac13}=\sqrt{\dfrac{14+6\sqrt{5}}{3}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}
OP=\dfrac12QN=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}
OB=\sqrt{\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}
BI=2OB=2\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{10+2\sqrt{5}}
これが対角線の長さ。

次の平行四辺形の高さ(b)を求めると
三角形BMNで考えて
b=\sqrt{3}\times\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\div\sqrt{5+2\sqrt{5}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}

したがって頂点Aがこの平行四辺形から上にaはみでているとすると、
a=\dfrac{AL-b}{2}
b>2aならば両側からへこむ。したがってb-2aの正負を調べればよい。
b-2a=b-(AL-b)=2b-AL=\dfrac{2(3+\sqrt{5})}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}= \dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}<0

したがって、両側からへこむことはできない。

どうでしょうか。間違えていたら、ご教授ください。図面少なくて申し訳ないです。

正多面体の定義

正多面体の定義は次のように教科書には書かれている。

立方体のように、多面体で次の2つの性質を持ち、へこみのないものを正多面体という。

  1. どの面もすべて合同な正多角形である。
  2. どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。

この定義でよくわからなかったことがある。
それは「へこみのない」--ふつうは「凸な」というけど--という条件がなぜ必要なのか?
ということだ。

それが、ついさっき、やっと分かった。

でも、これ1つだけのような気がする。
他にあるのかな?

多項式とは

前のエントリーを書いていて思い出した話。

以前、若い先生に「単項式は多項式なんですか」と質問されたことがある。
「当然、多項式だ」と答えたら、
「そのように明快に答えてもらったのは初めてだ」と言われた。

もちろん、私が明快に答えたのは、私がちゃんと教科書を読んでいなかったからだ。

教科書にはこのように書いてある。

2a2x\dfrac13a^2などのように、数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。

2a+2\pi r3x+103a^2+4ab+1などのように、単項式の和の形で表された式を多項式といい、そのひとつひとつの単項式を、多項式という。

これは、わからないという方が正しいね。

文部科学省の中学校学習指導要領解説を読むと、どうも「整式」という用語があるらしい。
整式\begin{cases}単項式\\ 多項式\end{cases}

数と文字の加減乗でできているのが多項式だとずっと思い込んでいた。
(だって「多項式環」という言葉があるじゃない!)

しかし、教科書には「整式」という用語は登場しない。

小学校では長方形と正方形を並列で教えるが、中学校では包含関係で教える。
(正方形でない長方形は矩形といえばいいのかな?)

もう整式という言葉は廃止して、全部「多項式」でいいんじゃないかなぁ。
中学3年生の単元も「多項式」となっていることだし。

ルール違反について

やはり同じことを書くのはモチベーションがあがらない。
何度か、書きかけて没にしたけど、もう一度やってみる。

素因数分解

教科書にはこんな感じで説明されている。

自然数がいくつかの自然数の積であらわされるとき、そのひとつひとつの数を、もとの数の因数という。

素数である因数を素因数といい、自然数を素因数の積に分解することを素因数分解という。

と、ここでは素因数分解は、あくまで自然数の範囲で考えるということが明確だ。

因数分解

教科書ではこう書かれている。

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\cdots(1)
(1)の式は多項式x^2+5x+6x+2x+3の積であらわしている。
x+2x+3x^2+5x+6因数という。

多項式をいくつかの因数の積としてあらわすことを、その多項式因数分解するという。

このように多項式因数分解のくだりでは、「自然数」もしくは「整数」という記述はない。
まじめに考えると、多項式因数分解は次数を下げるのが目的なのであるから、係数は実はどうだってよい。
しかしそれは大人の事情であって、中学生はどう答えたら正解になるのかわからないと困るのだ。

実際に教科書には次のような記述がある。

3ax-6ayは、a(3x-6y)としても因数分解したことになるが、かっこの中の式には共通な因数3が残っている。
このような場合には3a(x-2y)のように、できる限り因数分解する。

本来、係数はどうでもいいはずなのだが、このように書いてある以上、a(3x-6y)という答案は×になる。
しかし、この「できる限り因数分解する」というのが困り者だ。
範囲を指定しなければ、どこまでが「できる」のか判断できないからだ。

-3a(-x+2y)という解答は正解なのか不正解なのか。
6a(\frac12x+y)という解答はどうなるのだろう。

教科書の模範解答は3a(x-2y)
係数は自然数ないしは整数と考えるのが適正だと考えるのが自然な読み取り方というものではなかろうか。

そして、その後の例題もすべて整数係数の問題しか並べていないのに、問で4x^2+xy+\dfrac{y^2}{16}を出題するのはルール違反ではないのかと思うのだ。

ちゃんと多項式環として学ばせようというのなら、はじめから有理数係数で例題から説明してみろっていうことだ。

そんなことは無理だから、お互い歩み寄って「暗黙の了解」という言葉になったのだが…。

やはり、だらだら言い訳書いてるだけのようで面白くない。もう、このままアップしちゃおう。

折り紙の問題【中学1年】

今年度は、すべての時間に授業プリントを用意しているので、授業の進行計画はきちんと作っている。
ところが、土曜授業の日に直前になって授業が割り振られたりして、その計画はぐらぐらになる。
2学期の1年生は「5章平面図形」を終わるところでぴったりのはずだったが、その土曜授業のおかげで2クラス(少人数なので3クラス)が1時間余った。

そこで急遽作った折り紙の問題。

プリントに問題1問とその解答(完成品のシルエット)を印刷、折り紙1枚と一緒に配布。
完成したら確認して、正解なら次の問題を配布。

ルール

  • コンパス・定木は使用不可。手だけで折る。
  • 角・辺の3等分は禁じ手とする。
問1

正三角形を折りなさい。(図は1辺が正方形の1辺と等しい三角形)

問2

八角形を折りなさい。

問3

問1よりちょっと大きい正三角形を折りなさい。(図は正方形の内部に作れる最大面積の正三角形)

問4

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モチベーションをあげる手として、全問クリアした人先着3名に綺麗な折り紙1枚進呈としてみたが、賞品を用意しなくても大丈夫だったようだ。

最初の1人の正解者がどのくらいのタイミングででてくれるかが、この手の授業の成功の鍵だけど、半分以上は運なんだよね。

研究授業

研究授業とは、若い先生の授業をみんなでみて、いろいろアドバイスするものだと思っていた。
私も若い頃はそんな研究授業でいろいろ教わって、だから他の人の研究授業にもできる限り駆けつけるように心がけていた。
それが、定年も間近のこの歳になって、しかも異動したての学校で、今年は立て続けに2回も研究授業をすることになった。

研究授業なんて15年以上やっていない。

といっても、なにか研究をしているわけではないから、普段の授業を公開するだけ。
指導案を書いたり印刷したりが面倒なだけでどうということもないのだが……見学に来るのが何故か小学校の先生だったりする。

小中連携とか流行しているらしい。

先日も、うちの嫁さんなどは幼稚園の授業を観にいった。
意味が分からない。

そして授業の後の協議会が、実にためにならない。

話題が「小学校では『めあて』なのに中学校では『ねらい』なのはどういうわけか」とか、
「グループ活動で4人編成にしていたが、4人という数にどういう意味があるのか」とか、
そんなのばかり。
どうでもいいよ。

それと毎回指摘されるのが【板書の4の書き方】について。

「小学校では4の書き方を苦労して指導しているのに、中学校でそんな書き方をしていては苦労が水の泡だ」

はじめ、何のことかわからなかった。

どうやら小学校では「4」の上の部分をくっつけてはいけないと指導しているらしい。

周りを見渡しても、上のくっついていない4を見つける方が難しいのだが…。

心の底からどうでもいい協議会の時間が苦痛だ。

そこで、今回は指導案の最後に唐突に次の資料をつけておいた。


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これをみると4は下から上に一筆書きで書くのが歴史的に正しい書き順のようだ。
この日は「4の書き方」についての質問は出なかった。

まぁ、反比例のグラフを描くだけの授業だったから板書で「4」は書かなかったせいのかもしれないが。


数字の歴史―人類は数をどのようにかぞえてきたか

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