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錐の体積は柱の体積の

中学3年生くらいに「錐の体積は柱の体積の何分のいくつですか」と問えば「三分の一」と応えてくれる。で、さらに「ではぴったり三分の一なのですか。それともだいたい三分の一なのですか」と聞くと「だいたい三分の一」と思っている生徒がかなり出現する。
これは現行のカリキュラムが第1学年は「直感幾何」とかでペリーさんだかの影響を受けているんだそうな。で、要するになんとなくわかりゃぁいいという姿勢で作られている。錐の体積も円錐型の容器に入れた水を円柱型の容器に移して「ほら、三分の一になったでしょ」ですますわけだ。ところが、この実験器具、高価な割には精度が低くて、ちっともちゃんと1/3になんかなりゃしない。
だから、そんな実験で教わった子どもたちは「だいたい1/3」だと思っちゃうのかもしれない。ちょうど、1年生では今まで円の面積は「ちょうど半径×半径×3.14」だと思っていたのが、「だいたい3.14」で本当は\piが正しいなてことを勉強した後だからなおさらかも。
で、私はあまり実験はしないで四角錐の模型で授業をするパターンが多い。

これをあわせると四角柱になるから体積は「ちょうど1/3」だというわけ。
もちろん、伏線として柱の体積のところで斜円柱の体積の話などをしておく。頂点がマンナカでなくても体積は変わらないってあたりを押さえておくわけだ。

この3つを下の写真のように並べていてひらめいたのが、頂点を端に寄せないでも説明できる模型。

もう一個あわせれば、頂点がマンナカの四角錐ができる。それを6ユニットあわせると…。

これを組み立てるとちょうど立方体になる。
同じ高さの四角柱はこの立方体の半分だから、四角錐3個分というわけ。

この模型、逆におりまげると菱形十二面体になって面白いと思っていた。

かなり年季が入っているので汚い。そろそろ作り直さなきゃだな。
ところが今日、教科書を見てがっかり。ちゃんと載っていた。くやし〜。