放物線の問題(解答編) - 中学数学教材研究ノート++

自宅では仕事をしないことにしているので、グラフ描いたりできない。
そのうち、わかりやすく図を追加します*1。

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これが $y=ax^2$ のグラフの一部ということなのだが、格子点を2か所通っているので、 $a(>0)$ は無理数ではない。
しかし、整数でもない。

まずこれが減少中ではないことを示そう。
3つ増えて2つ減っているので平均変化率 $-\dfrac23$
これで $a<1$ ということと、3つおきに格子点を通っていることから考えて可能性は
$a=\dfrac{n}{9} (n=1,\ldots,8)$ しかないが
$x$ 座標を $i,(i+3)$ とすると、
$\dfrac{n}{9}(2i+3)=-\dfrac23$
$n(2i+3)=-6$
ここで $nとi$ は整数なので解は $\cases{n=2\cr i=-3}$ と $\cases{n=6\cr i=-2}$ だけ
すなわち $\cases{a=\dfrac29\cr i=-3}$ と $\cases{a=\dfrac23\cr i=-2}$
もちろん $i=-2$ では格子点を通らないので没にすると残るは $\cases{a=\dfrac29\cr i=-3}$ のみ。
$y=\dfrac29x^2 (-3\le x \le 0)$ という可能性だ。
しかし、その場合、グラフの右下が原点ということになるが、よくみるとこれは原点ではないことがわかる。

そこでこのグラフは増加中のグラフだとわかる。

2つ増えて3つ増えているから平均変化率 $\dfrac32$
$x$ 座標を $j,(i+2)$ とする
$y=x^2$ で接線の傾きが $\dfrac32$ となる点を探してみよう。

$x$ 座標を $p$ とすると $2p=\dfrac32$ だから $p=\dfrac34$
これが整数になるようにするにはグラフを4倍してやればよいので $a=\dfrac14, j+1=3$ がわかる。
8倍すると $j+1$ が偶数になってしまうので、その前後は奇数となるから格子点にならない。
すなわち
$y=\dfrac14x^2 (2\le x \le 4)$
が唯一残った可能性という事になる。