放物線の問題(解答編)

自宅では仕事をしないことにしているので、グラフ描いたりできない。
そのうち、わかりやすく図を追加します*1

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これがy=ax^2のグラフの一部ということなのだが、格子点を2か所通っているので、a(>0)無理数ではない。
しかし、整数でもない。


まずこれが減少中ではないことを示そう。
3つ増えて2つ減っているので平均変化率-\dfrac23
これでa<1ということと、3つおきに格子点を通っていることから考えて可能性は
a=\dfrac{n}{9} (n=1,\ldots,8)しかないが
x座標をi,(i+3)とすると、
\dfrac{n}{9}(2i+3)=-\dfrac23
n(2i+3)=-6
ここでnとiは整数なので解は\cases{n=2\cr i=-3}\cases{n=6\cr i=-2}だけ
すなわち\cases{a=\dfrac29\cr i=-3}\cases{a=\dfrac23\cr i=-2}
もちろんi=-2では格子点を通らないので没にすると残るは\cases{a=\dfrac29\cr i=-3}のみ。
y=\dfrac29x^2 (-3\le x \le 0) という可能性だ。
しかし、その場合、グラフの右下が原点ということになるが、よくみるとこれは原点ではないことがわかる。

そこでこのグラフは増加中のグラフだとわかる。

2つ増えて3つ増えているから平均変化率\dfrac32
x座標をj,(i+2)とする
y=x^2で接線の傾きが\dfrac32となる点を探してみよう。

x座標をpとすると2p=\dfrac32だからp=\dfrac34
これが整数になるようにするにはグラフを4倍してやればよいのでa=\dfrac14, j+1=3がわかる。
8倍するとj+1が偶数になってしまうので、その前後は奇数となるから格子点にならない。
すなわち
y=\dfrac14x^2 (2\le x \le 4)
が唯一残った可能性という事になる。


放物線が相似ということを使った問題を考えていた記憶があるから、後半はほぼ作意だと思うのだけれど、前半がうまくいかない。
もっと条件つけたのかなぁ。

念のために補足しておくと、傾きの公式a(\alpha+\beta)をやれば接線の傾き2a\alphaも自然に進めます。

進学塾では接線の方程式y=2a\alpha x-a\alpha^2までやります。


後半はいいと思うのだけれど、前半がだらだらして嫌。
どなたかすっきり書き直してください。

*1:「そのうち」と言ってやったことは少ない