√2が無理数であることの証明 - 中学数学教材研究ノート++

よくある証明

$\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ と表せたとする。ただし( $m,\, n$ は互いに素な自然数)
両辺をそれぞれ2乗すると
$2=\dfrac{m^2}{n^2}$
$2n^2=m^2$
したがって $m^2$ は偶数である。
もし $m$ が奇数であるならば $m^2$ も奇数になるので
$m$ は偶数である。
そこで $m=2a$ とおくと
$2n^2=(2a)^2$
$2n^2=4a^2$
$n^2=2a^2$
したがって $n^2$ は偶数である。
もし $n$ が奇数であるならば $n^2$ も奇数になるので
$n$ は偶数である。
以上で $m$ も $n$ も偶数であることが示されたが、
これは $m,\, n$ は互いに素な自然数という仮定に矛盾する。
したがって
$\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ と表すことはできない。
すなわち $\sqrt{2}$ は無理数である。

この証明は問題はないと思うが、ちょっと冗長なのではないかと思った。
そして、
「 $n$ が奇数であるならば $n^2$ も奇数になるので $n$ は偶数である。」
の部分は丁寧に記述したらもっと長くなる。
$\sqrt{3}$ ではもっと長くなる。

そこで、次のような証明を考えてみた。

これでは駄目？

$\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ と表せたとする。ただし( $m,\, n$ は互いに素な自然数)
両辺をそれぞれ2乗すると
$2=\dfrac{m^2}{n^2}$
この式をよく考えてみる。

$m,\, n$ は互いに素な自然数とは $\dfrac{m}{n}$ が約分できないという意味だ。
つまり $m,\, n$ には共通な素因数は存在しないと言うことだ。
ということは $m^2,\, n^2$ にも共通な素因数は存在しない。
ところが $\dfrac{m^2}{n^2}$ が約分されて2になっていいる。
これは矛盾だ。
したがって
$\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ と表すことはできない。
すなわち $\sqrt{2}$ は無理数である。

これで十分ではないかと長いこと思っていた。
$\sqrt{2}$ でも $\sqrt{3}$ でも、2を3に変えるだけで良い。

ところが最近、それなら4でも成立しちゃわないか？と気づいた。

$\sqrt{4}$ が無理数だと証明できてしまったら変だ。

やはり、上の証明は間違っているのか。

他のサイトを当たってみると

ルート２が無理数であることの４通りの証明 | 高校数学の美しい物語で4つの証明が紹介されていた。

1番目はよくある偶数を使ったもの。

2番目を引用する。

$\sqrt{2}$ が有理数 ⟺ $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ を満たす整数 $a,b$ が存在する
なので，
$a^2=2b^2$ を満たす整数 $a,b$ が存在しないことを証明すればよい。
$a,b$ を素因数分解したときの 2 の指数（2 で何回割り切れるか）を考えることで，左辺は 2で偶数回，右辺は 2で奇数回割り切れることになる。
つまりそのような整数 $a,b$ は存在しない。