放物線の方べきの定理

生徒がいうには「放べきの定理」というものがあるという。
方べきではなく、放べき。
どうも放物線についての方べきの定理らしい。
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この図でPA\times PB=PC\times PDが成り立つというのか?
しかし、考えてみるまでもなく、もしそうならば4点、A,B,C,Dが同一円周上にあるという事になる。
ありえない。

どうも、4点のx座標についての話らしい。

つまり、(\alpha-p)\times (\beta-p)=(\gamma-p)\times(\delta-p) が成り立つという事らしい。

ふむふむ、それなら証明できそうだとやってみた。

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Pの座標を(p,q)とする。

ABはy=a(\alpha+\beta)x-a\alpha\beta

これがP(p,q)を通るので

a(\alpha+\beta)p-a\alpha\beta=q

(\alpha+\beta)p-\alpha\beta=\dfrac{q}{a}

ここまで準備して計算を始める。

\begin{eqnarray*}
&&(\alpha-p)\times (\beta-p)\\
&=&\alpha\beta-(\alpha+\beta)p+p^2 \\
&=&p^2-\dfrac{q}{a}\\
&=&一定
\end{eqnarray*}
証明終

できた。
でも、この定理、どんな意味があるんだろ?
\alpha\le p\le \betaの時など、役立つときもあるかな。。