自宅では仕事をしないことにしているので、グラフ描いたりできない。
そのうち、わかりやすく図を追加します*1。
これがのグラフの一部ということなのだが、格子点を2か所通っているので、は無理数ではない。
しかし、整数でもない。
まずこれが減少中ではないことを示そう。
3つ増えて2つ減っているので平均変化率
これでということと、3つおきに格子点を通っていることから考えて可能性は
しかないが
座標をとすると、
ここでは整数なので解はとだけ
すなわちと
もちろんでは格子点を通らないので没にすると残るはのみ。
という可能性だ。
しかし、その場合、グラフの右下が原点ということになるが、よくみるとこれは原点ではないことがわかる。
そこでこのグラフは増加中のグラフだとわかる。
2つ増えて3つ増えているから平均変化率
座標をとする
で接線の傾きがとなる点を探してみよう。
座標をとするとだから
これが整数になるようにするにはグラフを4倍してやればよいのでがわかる。
8倍するとが偶数になってしまうので、その前後は奇数となるから格子点にならない。
すなわち
が唯一残った可能性という事になる。
放物線が相似ということを使った問題を考えていた記憶があるから、後半はほぼ作意だと思うのだけれど、前半がうまくいかない。
もっと条件つけたのかなぁ。
念のために補足しておくと、傾きの公式をやれば接線の傾きも自然に進めます。
進学塾では接線の方程式までやります。
後半はいいと思うのだけれど、前半がだらだらして嫌。
どなたかすっきり書き直してください。