2次式の因数分解

以前、高須先生に教わった2次式の因数分解の方法をここにも書いておく。

ax^2+bx+c因数分解

  1. かけてac、たしてbになる2数p,qを見出す
  2. ax^2+px+qx+cと変形する。

これで高校レベルの問題から、中学レベルの問題になった。

私は高校の時は「たすき掛け」というものを習ったけれど、こちらの方が数段効率がいいように思う。
今の高校ではどう教えているのだろう?

例題

\begin{eqnarray*}
&&6x^2+x-2\\
&=&6x^2-3x+4x-2\\
&=&3x(2x-1)+2(2x-1)\\
&=&(3x+2)(2x-1)
\end{eqnarray*}

中学生も読む可能性があるので一応解説すると、
かけて6\times(-2)=-12たして1になる2数として-34を得る。
そこで+x-3x+4xと分解する。
あとは中学校でも学ぶ2項ずつまとめて共通因数を見出す手法である。

根拠

因数分解は展開の逆なのだから
\begin{eqnarray*}
(\alpha x+\beta)(\gamma x+\delta)&=&\alpha\gamma x^2+\alpha\delta x+\beta\gamma x+\beta\delta \\
&=&\alpha\gamma x^2+(\alpha\delta+\beta\gamma)x+\beta\delta\\
&=&ax^2+bx+c \end{eqnarray*}
これを逆にたどればよい。

\begin{eqnarray*}
ax^2+bx+c
&=&\alpha\gamma x^2+(\alpha\delta+\beta\gamma)x+\beta\delta\\
&=&\alpha\gamma x^2+\alpha\delta x+\beta\gamma x+\beta\delta \\
&=&\alpha x(\gamma x+\delta)+\beta(\gamma x+\delta)\\
&=&(\alpha x+\beta)(\gamma x+\delta)
 \end{eqnarray*}

問題は(\alpha\delta+\beta\gamma)x を \alpha\delta x+\beta\gamma x に分けるところだ。
\cases{\alpha\delta=p \cr \beta\gamma=q} はどのような数だろうか。
p+q=\alpha\delta+\beta\gamma=b
pq=\alpha\delta\beta\gamma=ac
証明終