a<b ならば √a<√b であることの証明

教科書では直感的な説明しかありません。
もしこれを中学3年生できちんと証明するとすればどのようにできるかということです。
知恵袋で質問した結果、次のような証明が見つかりました。

hi06112375さんの証明

b-a>0であるから、

\sqrt{b}-\sqrt{a}=\dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}>0

したがって、\sqrt{a}<\sqrt{b}となります。

0<a<b ならば √a < √b中学校の教科書では直観的な説明しかない... - Yahoo!知恵袋

なるほどお見事ですね。
本来でしたら関数的に扱うのが自然なのでしょうが。

これを中学生向けにさらに優しく書き直したのが以下です。

証明

(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{b}-\sqrt{a})=b-a>0
上の式で\sqrt{b}>0,\sqrt{a}>0なので
\sqrt{b}+\sqrt{a}>0
したがって
\sqrt{b}-\sqrt{a}>0
\sqrt{a}<\sqrt{b}